Fractales

Mandelbrot et Julia

Comment que l'on les calcule donc ?

Mandelbrot et Julia sont définies par la suite :

<math>Z_{n+1} = Z_n^2 + C</math>

• Z et C sont deux nombres complexes :
  • <math>Z = a + bi</math>
  • <math>C = c + di</math>

• Pour Mandelbrot C est le point à calculer :
  • c est l'absisse
  • di est l'ordonnée
  • on part avec Z = 0

• Pour Julia Z est le point à calculer :
  • a est l'absisse
  • bi est l'ordonnée
  • on prend une constante pour C

On aura donc :

<math>(a + bi)_{n+1} = (a_n + bi_n)^2 + c + di</math>

soit

<math>(a + bi)_{n+1} = a_n^2 +2a_nbi_n + (bi_n)^2 + c + di</math>

avec <math>i^2 = -1</math> ça donne

<math>(a + bi)_{n+1} = a_n^2 + 2a_nbi_n - b_n + c + di</math>

donc pour <math>n+1</math>:

<math>a_{n+1} = a_n^2 -b_n + c</math> et <math>bi_{n+1} = 2a_nbi_n + di</math>

• le point Z appartient à la fractale si la longueur du vecteur Z (<math>\bar{z}</math> ne tend pas vers l'infini, il est dit un peu partout que si cette longueur dépasse 2, on va tendre vers l'infini...

<math>\bar{z} = \sqrt{a^2 + b^2}</math>

on peut se passer de l'opération avec la racine carrée car <math>\sqrt{4} = 2</math>

donc on peut juste tester <math>\bar{z} < a^2 + b^2</math>

Et hop, des chtis algorithmes

Pour dessiner la fractale Julia :

c = -0.7
d = -0.1
WHILE x < WIDTH
  WHILE y < HEIGHT
    a = x
    bi = y
    DO
      tmp = a
      a = a * a + b * b + c
      bi = 2 * tmp * bi + di
      zbar = a * a + bi * bi
      i = i + 1
    WHILE i < MAXITER) AND zbar < 4)
    IF zbar < 4:
      PIXEL(x, y)
    y = y + 1
  x = x + 1

Et pour Mandelbrot (à tester)...:

a = 0
bi = 0
WHILE x < WIDTH
  WHILE y < HEIGHT
    c = x
    di = y
    DO
      tmp = a
      a = a * a + b * b + c
      bi = 2 * tmp * bi + di
      zbar = a * a + bi * bi
      i = i + 1
    WHILE i < MAXITER) AND zbar < 4)
    IF zbar < 4:
      PIXEL(x, y)
    y = y + 1
  x = x + 1

Howtos

• http://home.hia.no/~fgill/fractal.html