Fractales
Mandelbrot et Julia
Comment que l'on les calcule donc ?
Mandelbrot et Julia sont définies par la suite :
<math>Z_{n+1} = Z_n^2 + C</math>
- Z et C sont deux nombres complexes :
- <math>Z = a + bi</math>
- <math>C = c + di</math>
- Pour Mandelbrot C est le point à calculer :
- c est l'absisse
- di est l'ordonnée
- on part avec Z = 0
- Pour Julia Z est le point à calculer :
- a est l'absisse
- bi est l'ordonnée
- on prend une constante pour C
On aura donc :
<math>(a + bi)_{n+1} = (a_n + bi_n)^2 + c + di</math>
soit
<math>(a + bi)_{n+1} = a_n^2 +2a_nbi_n + (bi_n)^2 + c + di</math>
avec <math>i^2 = -1</math> ça donne
<math>(a + bi)_{n+1} = a_n^2 + 2a_nbi_n - b_n + c + di</math>
donc pour <math>n+1</math>:
<math>a_{n+1} = a_n^2 -b_n + c</math> et <math>bi_{n+1} = 2a_nbi_n + di</math>
- le point Z appartient à la fractale si la longueur du vecteur Z (<math>\bar{z}</math> ne tend pas vers l'infini, il est dit un peu partout que si cette longueur dépasse 2, on va tendre vers l'infini...
<math>\bar{z} = \sqrt{a^2 + b^2}</math>
on peut se passer de l'opération avec la racine carrée car <math>\sqrt{4} = 2</math>
donc on peut juste tester <math>\bar{z} < a^2 + b^2</math>
Et hop, des chtis algorithmes
Pour dessiner la fractale Julia :
c = -0.7
d = -0.1
WHILE x < WIDTH
WHILE y < HEIGHT
a = x
bi = y
DO
tmp = a
a = a * a + b * b + c
bi = 2 * tmp * bi + di
zbar = a * a + bi * bi
i = i + 1
WHILE i < MAXITER) AND zbar < 4)
IF zbar < 4:
PIXEL(x, y)
y = y + 1
x = x + 1
Et pour Mandelbrot (à tester)...:
a = 0
bi = 0
WHILE x < WIDTH
WHILE y < HEIGHT
c = x
di = y
DO
tmp = a
a = a * a + b * b + c
bi = 2 * tmp * bi + di
zbar = a * a + bi * bi
i = i + 1
WHILE i < MAXITER) AND zbar < 4)
IF zbar < 4:
PIXEL(x, y)
y = y + 1
x = x + 1
Du code, at last !
Voici une version Python de la chose (pygame doit être installé pour faire fonctionner ce petit programme...)
import sys, pygame from pygame.locals import * WIDTH = 512 HEIGHT = 512 def show_text(t): text = font.render(t, 1, (255, 255, 255)) textpos = text.get_rect(centerx=screen.get_width()/2, centery=screen.get_height()/2) screen.blit(text, textpos) pygame.display.flip() def julia(surface): c = -0.78 di = -0.1 maxiter = 64 xmin = -1.5 ymin = -1.5 xmax = 1.5 ymax = 1.5 dx = (xmax - xmin) / WIDTH dy = (ymax - ymin) / HEIGHT x = 0 while x < WIDTH: y = 0 while y < HEIGHT: a = xmin + x * dx bi = ymin + y * dy zbar = a * a + bi * bi i = 0 while i < maxiter and zbar < 4: tmp = a a = a * a - bi * bi + c bi = 2 * tmp * bi + di zbar = a * a + bi * bi i += 1 surface.set_at((x, y), (48, 48, 64+i)) y += 1 x += 1 def mandelbrot(surface): maxiter = 64 xmin = -2.0 ymin = -1.25 xmax = 1.25 ymax = 1.25 dx = (xmax - xmin) / WIDTH dy = (ymax - ymin) / HEIGHT x = 0 while x < WIDTH: y = 0 while y < HEIGHT: a = 0 bi = 0 c = xmin + x * dx di = ymin + y * dy zbar = a * a + bi * bi i = 0 while i < maxiter and zbar < 4: tmp = a a = a * a - bi * bi + c bi = 2 * tmp * bi + di zbar = a * a + bi * bi i += 1 surface.set_at((x, y), (64+i, 48, 48)) y += 1 x += 1 pygame.init() screen = pygame.display.set_mode( (WIDTH,HEIGHT) ) surface = pygame.Surface( (WIDTH,HEIGHT) ) font = pygame.font.Font(None, 24) is_julia = False first = True while True: event = pygame.event.poll() if event.type == QUIT: break if event.type == KEYDOWN and event.key == K_ESCAPE: break if (event.type == KEYDOWN and event.key == K_SPACE) or first: first = False if is_julia: show_text("Computing Mandelbrot...") mandelbrot(screen) is_julia = False else: show_text("Computing Julia...") julia(screen) is_julia = True pygame.display.flip() pygame.time.wait(1000/60)