« Fractales » : différence entre les versions
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Julia est définie par la suite : | |||
<math>Z_{n+1} = Z_n^2 + C</math> | <math>Z_{n+1} = Z_n^2 + C</math> | ||
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* Z est le point à calculer : a est l'absisse et bi est l'ordonnée | * Z est le point à calculer : a est l'absisse et bi est l'ordonnée | ||
On aura donc : | |||
<math>(a + bi)_{n+1} = ( | <math>(a + bi)_{n+1} = (a_n + bi_n)^2 + c + di</math> | ||
soit | soit | ||
<math>(a + bi)_{n+1} = | <math>(a + bi)_{n+1} = a_n^2 +2a_nbi_n + (bi_n)^2 + c + di</math> | ||
avec <math>i^2 = -1</math> ça donne | avec <math>i^2 = -1</math> ça donne | ||
<math>(a + bi)_{n+1} = | <math>(a + bi)_{n+1} = a_n^2 + 2a_nbi_n - b_n + c + di</math> | ||
donc | donc pour <math>n+1</math>: | ||
<math> | <math>a_{n+1} = a_n^2 -b_n + c</math> et <math>bi_{n+1} = 2a_nbi_n + di</math> | ||
* le point Z appartient à la fractale Julia si la longueur du vecteur Z ne tend pas vers l'infini, il est dit un peu partout que si cette longueur dépasse 2, on va tendre vers l'infini... | * le point Z appartient à la fractale Julia si la longueur du vecteur Z ne tend pas vers l'infini, il est dit un peu partout que si cette longueur dépasse 2, on va tendre vers l'infini... |
Version du 25 octobre 2006 à 17:30
Mandelbrot
<math>Z_{n+1} = Z_n^2 + c</math>
- c est le point à calculer
Julia
Julia est définie par la suite :
<math>Z_{n+1} = Z_n^2 + C</math>
- Z et C sont deux nombres complexes
<math>Z = a + bi</math> <math>C = c + di</math>
- Z est le point à calculer : a est l'absisse et bi est l'ordonnée
On aura donc :
<math>(a + bi)_{n+1} = (a_n + bi_n)^2 + c + di</math>
soit
<math>(a + bi)_{n+1} = a_n^2 +2a_nbi_n + (bi_n)^2 + c + di</math>
avec <math>i^2 = -1</math> ça donne
<math>(a + bi)_{n+1} = a_n^2 + 2a_nbi_n - b_n + c + di</math>
donc pour <math>n+1</math>:
<math>a_{n+1} = a_n^2 -b_n + c</math> et <math>bi_{n+1} = 2a_nbi_n + di</math>
- le point Z appartient à la fractale Julia si la longueur du vecteur Z ne tend pas vers l'infini, il est dit un peu partout que si cette longueur dépasse 2, on va tendre vers l'infini...
<math>\bar{z} = \sqrt{a^2 + b^2}</math>
on peut se passer de l'opération avec la racine carrée car <math>\sqrt{4} = 2</math>
donc on peut juste tester <math>\bar{z} < a^2 + b^2</math>